Logaritmo: definição e propriedades

O que é

Logaritmo é um expoente. $\log_b a = x$ quer dizer $b^x = a$: "a que número eu elevo a base $b$ para chegar em $a$?"

• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, porque $5^{-2} = \frac{1}{25}$

b = base · a = logaritmando · x = logaritmo.

Quando existe

• Logaritmando positivo: $a > 0$
• Base positiva e diferente de 1: $b > 0$ e $b \neq 1$

Por quê: $b^x$ com $b > 0$ nunca é zero nem negativo, e $1^x$ é sempre 1. Se a base tem $x$, escreva as três condições antes de continuar.

Consequências da definição

• $\log_b 1 = 0$
• $\log_b b = 1$
• $\log_b b^n = n$
• $b^{\log_b a} = a$

Propriedades (logaritmandos positivos, mesma base)

• Produto: $\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c$
• Quociente: $\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c$
• Potência: $\log_b a^n = n \cdot \log_b a$

Cuidado: $\log(a + c)$ não é $\log a + \log c$.

Mudança de base

$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$

Use para trocar por uma base em que você conhece os valores. Consequência: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Exemplo: com $\log 2 = 0{,}30$ e $\log 3 = 0{,}48$, $\log_2 3 = \frac{0{,}48}{0{,}30} = 1{,}6$.

Logaritmo decimal

Sem base escrita, a base é 10: $\log x = \log_{10} x$. Vale $\log 10^n = n$ ($\log 1000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$).

Com $\log 2$ e $\log 3$ dados, decomponha o número: $\log 18 = \log (2 \cdot 3^2) = 0{,}30 + 2 \cdot 0{,}48 = 1{,}26$. E $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - \log 2$.

A equação exponencial é o caminho de volta: $2^x = 7$ dá $x = \log_2 7$.

Cola final

• Logaritmo é um expoente: na dúvida, volte para a potência
• Existe se $a > 0$, $b > 0$ e $b \neq 1$
• $\log_b 1 = 0$ e $\log_b b = 1$
• Produto vira soma, quociente vira subtração, expoente desce multiplicando
• $\log(a + c) \neq \log a + \log c$
• Mudança de base: $\frac{\log_c a}{\log_c b}$
• $\log$ sem base é base 10; $\log 10^n = n$