Função quadrática: determinar a lei a partir de pontos do gráfico

Por que 3 informações?

A lei $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem 3 números para descobrir ($a$, $b$, $c$). Cada informação do gráfico vira uma equação; então precisamos de 3.

Ponto $(x_0, y_0)$ no gráfico: $a x_0^2 + b x_0 + c = y_0$. O $x$ vem primeiro.

1. Três pontos quaisquer

Monte um sistema 3×3 e elimine o $c$ subtraindo as equações duas a duas.

Pontos $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,6)$: ficam $3a + b = 1$ e $5a + b = 3$, então $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$.

Atalho: um ponto $(0, k)$ dá $c = k$ direto.

2. Raízes e um ponto

$f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)$

O ponto que sobra dá o $a$. Raízes $-1$ e $3$, ponto $(0,-6)$: $-6 = a(1)(-3)$, logo $a = 2$.

Se o ponto extra é o corte no eixo $y$: $a = \dfrac{c}{x_1 x_2}$. Raiz dupla: $a(x - x_1)^2$.

3. Vértice e um ponto

$f(x) = a\,(x - x_v)^2 + y_v$

Vértice $(2,-1)$, ponto $(0,3)$: $3 = 4a - 1$, logo $a = 1$.

Achar o $x_v$: meio das raízes, ou meio de dois pontos de mesma altura.

Lendo o gráfico

Procure: corte no eixo $y$ (é o $c$), cortes no eixo $x$ (raízes) e o vértice. Use só pontos de coordenadas inteiras na malha. Boca para cima: $a > 0$; para baixo: $a < 0$.

Tabela de valores

Uma tabela é uma lista de pontos. Procure: $x = 0$ (dá o $c$), dois $x$ com o mesmo $y$ (o vértice fica no meio), $y = 0$ (raiz). Sem pista: sistema 3×3.

Exemplo: $f(0)=6$, $f(1)=3$, $f(2)=2$ dão $c = 6$, $a + b = -3$, $2a + b = -2$, logo $a = 1$, $b = -4$: $f(x) = x^2 - 4x + 6$.

Máximo e mínimo

O extremo é o vértice: $a > 0$ dá mínimo $y_v$; $a < 0$ dá máximo $y_v$. O $x_v$ diz onde, o $y_v$ diz quanto. $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, $y_v = f(x_v)$.

Exemplo: lucro $L(1)=7$, $L(2)=10$, $L(4)=10$. Mesma altura em 2 e 4: $x_v = 3$. Então $L(x) = -(x-3)^2 + 11$ e o lucro máximo é 11, com $x = 3$.

Conferindo

1. Os pontos dados satisfazem a lei?
2. O sinal de $a$ combina com a boca da parábola?
3. Raízes e vértice calculados pela lei batem com o gráfico?

Erros comuns

• Raiz $-1$ vira o fator $(x + 1)$, não $(x - 1)$.
• Esquecer o $a$ na forma fatorada ou na canônica.
• Confundir $c$ (corte no eixo $y$) com $y_v$.
• Trocar $x$ e $y$ no ponto.
• Se o sistema der $a = 0$, os pontos estão alinhados: não é parábola.

Cola final

• Parábola: 3 incógnitas, então 3 informações.
• 3 pontos: sistema · raízes + ponto: $a(x - x_1)(x - x_2)$ · vértice + ponto: $a(x - x_v)^2 + y_v$.
• O ponto que sobra serve para achar o $a$.
• $x_v$ é o meio das raízes (ou de dois pontos de mesma altura).
• Sempre confira substituindo os pontos.