Equação Exponencial

O que é

Equação exponencial é aquela com a incógnita no expoente, como $2^x = 8$. A ideia central: deixe os dois lados com a mesma base e compare os expoentes.

Potências: o que você precisa saber

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ · $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ · $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$
• $a^0 = 1$ · $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ · $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
• Só soma expoentes quando a base é a mesma. E $(a+b)^n \neq a^n + b^n$.

Regra de ouro

Com $a > 0$ e $a \neq 1$:

$a^x = a^y \;\Longrightarrow\; x = y$

Cada resultado vem de um único expoente. Por isso, igualadas as bases, igualam-se os expoentes.

Método 1: mesma base

1. Fatore para ter a mesma base nos dois lados.
2. Iguale os expoentes.
3. Resolva e confira.

Exemplo: $4^x = 8$ vira $2^{2x} = 2^3$, então $2x = 3$ e $x = \dfrac{3}{2}$.

Exemplo: $9^x = \dfrac{1}{27}$ vira $3^{2x} = 3^{-3}$, então $x = -\dfrac{3}{2}$.

Método 2: substituição $t = a^x$

Quando há soma de potências, troque a potência por $t$:

• $2^{x+1} = 2t$ · $2^{x-1} = \dfrac{t}{2}$ · $4^x = (2^x)^2 = t^2$

Exemplo: $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$. Com $t = 2^x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$, então $t = 1$ ou $t = 2$. Voltando: x = 0 ou x = 1.

Descarte todo $t \le 0$: uma potência de base positiva é sempre positiva.

Sem solução

$2^x = -4$ não tem solução real (potência de base positiva nunca é negativa). Se não dá para igualar as bases (como $2^x = 3$), é caso para logaritmo.

Problemas

Dobra, triplica, cai pela metade: valor final = inicial · fator elevado ao número de períodos. Monte a equação, reduza à mesma base e traduza o resultado (o expoente conta períodos, não horas).

Exemplo: 100 bactérias que dobram a cada hora. $100\cdot 2^t = 6400$ dá $2^t = 64$, então $t = 6$ horas.

Cola final

• Equação exponencial: x no expoente. Mesma base, depois igualar os expoentes.
• $a^x = a^y \Rightarrow x = y$ (com $a > 0$ e $a \neq 1$)
• Soma de potências: $t = a^x$; $4^x = t^2$; $2^{x+1} = 2t$
• Achou t? Descarte $t \le 0$ e volte para x
• $2^x = -4$: sem solução real
• Problema: inicial · fator elevado aos períodos
• Cuidado: $2^x + 2^x = 2^{x+1}$ (não $4^x$) e $(a+b)^n \neq a^n + b^n$